第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

 

1. 根據(jù)算符▽的微分形與矢量形，推導(dǎo)下列公式：▽（A·B）=B×（▽×A）+（B·▽）A+A×（▽×B）+（A·▽）B，A×（▽×A）=▽A2/2-（A·▽）A。、

 

2. 設(shè)u是空間坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，證明：▽f(u)=df/du▽u，▽·A(u)= ▽u·dA/du，▽×A(u)= ▽u×dA/du。

 

3. 設(shè)r=√[(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2]為源點(diǎn)x’到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，r的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。

 

a) 證明下列結(jié)果，并體會(huì)對(duì)源變數(shù)求微商（▽’=ex

 

b) 求▽·r，▽×r，(a·▽)r，▽(a·r)，▽·[E0sin(k·r)]及▽×[E0sin(k·r)]，其中a、k及E0均為常矢量。

 

4. 應(yīng)用高斯定理證明∫vdV×f=∮sdS×f，應(yīng)用斯托克斯定理證明∫sdS×▽ψ=∮Ldlψ。

 

5. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極距定義為p(t)=∫vρ(x’,t)x’dV’，利用電荷守恒定律

 

6. 若m是常矢量，證明除R=0點(diǎn)以外，矢量A=m×R/R3的旋度等于標(biāo)量ψ=m·R/R3的梯度的負(fù)值，即▽×A=-▽ψ，其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。

 

7. 有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為ε，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷ρf，求

 

a) 空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；

 

b) 極化體電荷和極化面電荷分布。

 

8. 內(nèi)外半徑分別為r1和r2的無(wú)窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流Jf，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μ。求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。

 

9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度ρp總是等于體自由電荷密度ρf的-(1-ε0/ε)倍。

 

10. 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，方向相反（但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）。

 

11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為l1和l2，電容率為ε1和ε2，今在兩板接上電動(dòng)勢(shì)為ε的電池，求

 

a) 電容器兩板上的自由電荷面密度ωf；

 

b) 介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度ωf。若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為σ1和σ2，當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩問(wèn)題的結(jié)果如何？

 

12. 證明： （1）當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的曲折滿足 tanθ2/tanθ1=ε2/ε1，其中ε1和ε2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，θ1和θ2分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。（2）當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場(chǎng)線曲折滿足tanθ2/tanθ1=σ2/σ1，其中σ1和σ2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。

 

13. 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。

 

14. 內(nèi)外半徑分別為a和b的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器，單位長(zhǎng)度荷電為λf，板間填充電導(dǎo)率為σ的非磁性物質(zhì)。

 

a) 證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無(wú)磁場(chǎng)。

 

b) 求λf隨時(shí)間的衰減規(guī)律。

 

c) 求于軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。

 

d) 求長(zhǎng)度為l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。