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電磁現象的普遍規律 練習題
1. 根據算符▽的微分形與矢量形，推導下列公式：▽（A·B）=B×（▽×A）+（B·▽）A+A×（▽×B）+（A·▽）B，A×（▽×A）=▽A2/2-（A·▽）A。、
2. 設u是空間坐標x，y，z的函數，證明：▽f(u)=df/du▽u，▽·A(u)= ▽u·dA/du，▽×A(u)= ▽u×dA/du。
3. 設r=√[(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2]為源點x’到場點x的距離，r的方向規定為從源點指向場點。
a) 證明下列結果，并體會對源變數求微商（▽’=ex
b) 求▽·r，▽×r，(a·▽)r，▽(a·r)，▽·[E0sin(k·r)]及▽×[E0sin(k·r)]，其中a、k及E0均為常矢量。
4. 應用高斯定理證明∫vdV×f=∮sdS×f，應用斯托克斯定理證明∫sdS×▽ψ=∮Ldlψ。
5. 已知一個電荷系統的偶極距定義為p(t)=∫vρ(x’,t)x’dV’，利用電荷守恒定律
6. 若m是常矢量，證明除R=0點以外，矢量A=m×R/R3的旋度等于標量ψ=m·R/R3的梯度的負值，即▽×A=-▽ψ，其中R為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。
7. 有一內外半徑分別為r1和r2的空心介質球，介質的電容率為ε，使介質內均勻帶靜止自由電荷ρf，求
a) 空間各點的電場；
b) 極化體電荷和極化面電荷分布。
8. 內外半徑分別為r1和r2的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流Jf，導體的磁導率為μ。求磁感應強度和磁化電流。
9. 證明均勻介質內部的體極化電荷密度ρp總是等于體自由電荷密度ρf的-(1-ε0/ε)倍。
10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，方向相反（但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）。
11. 平行板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為l1和l2，電容率為ε1和ε2，今在兩板接上電動勢為ε的電池，求
a) 電容器兩板上的自由電荷面密度ωf；
b) 介質分界面上的自由電荷面密度ωf。若介質是漏電的，電導率分別為σ1和σ2，當電流達到恒定時，上述兩問題的結果如何？
12. 證明： （1）當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足 tanθ2/tanθ1=ε2/ε1，其中ε1和ε2分別為兩種介質的介電常數，θ1和θ2分別為界面兩側電場線與法線的夾角。（2）當兩種導電介質內流有恒定電流時，分界面上電場線曲折滿足tanθ2/tanθ1=σ2/σ1，其中σ1和σ2分別為兩種介質的電導率。
13. 試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況下，導體內電場線總是平行于導體表面。
14. 內外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為λf，板間填充電導率為σ的非磁性物質。
a) 證明在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內部無磁場。
b) 求λf隨時間的衰減規律。
c) 求于軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。
d) 求長度為l的一段介質總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。
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