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靜電場
1. 一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強度為P=Kr/r2，電容率為ε，
a) 計算束縛電荷的體密度和面密度；
b) 計算自由電荷體密度；
c) 計算球外和球內(nèi)的電勢；
d) 求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。
2. 在均勻外電場中置入半徑為R0的導(dǎo)體球，試用分離變數(shù)法求下列兩種情況的電勢：
a) 導(dǎo)體球上接有電池，使求與地保持電勢差Φ0；
b) 導(dǎo)體球上帶總電荷Q。
3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷Qf，球的電容率為ε，球外為真空，試用分離變數(shù)法求空間電勢，把結(jié)果與使用高司定理所的結(jié)果比較。
4. 均勻介質(zhì)球（電容率為ε1）的中心置有一自由電偶極子pf，球外充滿了另一種戒指（電容率為ε2），求空間各點的電勢和極化電荷分布。
5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為R1和R2，球中心置有一偶極子p，球殼上帶電Q，求空間各點電勢和電荷分布。
6. 均勻外電場E0中置入一帶均勻自由電荷ρf的絕緣介質(zhì)球（電容率ε），求空間各點的電勢。
7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為σ2的液體，使其中流著均勻的電流Jf0，今在液體中置入一個電導(dǎo)率為σ1的小球，求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布，討論σ1》σ2及σ2》σ1兩種情況的電流分布的特點。
8. 半徑為R0的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)ε，導(dǎo)體球接地，離球心為a處（a>R0）置一點電荷Qf，試用分離變數(shù)法求空間各點電勢，證明所的結(jié)果與鏡象法結(jié)果相同。
9. 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和R2，在球內(nèi)離球心為a（a<R1）處置一點電荷Q，用鏡象法求電勢，導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？
10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q0，或使其有確定電視ψ0，試求這兩種情況的電勢，又問ψ0與Q0是何種關(guān)系時，兩種情況的解是相等的？
11. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電象法求空間電勢。
12. 有一點電荷Q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的指教空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b，求空間電勢。
13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為σ的液體，取該兩平面為xz和yz面，在（x0,y0,z0）和（x0,y0,-z0）兩點分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢。
14. 畫出函數(shù)dδ(x)/dx的圖，說明ρ=-(p·▽)δ(x)是一個位于原點的偶極子的電荷密度。
15. 證明（1）δ(ax)=δ(x)/a，(a>0) (若a<0，結(jié)果如何？) （2）xδ(x)=0
16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x’)，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為ψ-∫vP(x’)·r/(4πε0r3)dV’，另外，根據(jù)極化電荷公式ρp=-▽’·P(x’)及σp=n·p，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為ψ=-∫v▽’·P(x’)/ /(4πε0r)dV’+∮sP(x’)·dS’/(4πε0r)。試證明以上兩式是等同的。
17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。
a) 在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。
b) 在面偶及層兩側(cè)，電勢有躍變ψ2-ψ1=n·p/ε0，而電勢的法向微商是連續(xù)的。
18. 一半徑為R0的球面，在球坐標(biāo)0<θ<π/2的半球面上電勢為ψ0，在π/2<θ<π的半球面上電勢為-ψ0，求空間各點電勢。
19. 上題能用格林函數(shù)方法求解嗎？結(jié)果如何？
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