狹義相對論

 

1. 證明牛頓定律在伽俐略變換下是協變的,麥克斯韋方程在伽俐略變換下不是協變的。

 

2. 設有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為l0，它們以相同的速率相對于某一參照系運動，但運動方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測量另一根尺子的長度。

 

3. 靜止長度為l0的車廂，以速度v相對于地面S運動，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。

 

4. 一輛以速度v運動的列車上的觀察者，在經過某一高大建筑物時，看到其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔。求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時刻差。設建筑物及兩鐵塔在同一直線上，與列車前進方向一致，鐵塔到建筑物的地面距離都已知是l0。

 

5. 有一光源S與接收器R相對靜止，距離為l0，S-R裝置浸在均勻無限的液體介質（靜止折射率n）中。試對下列三種情況計算光源發出信號到接收器接到信號所經過的時間。

 

a) 液體介質相對于S-R裝置靜止；

 

b) 液體沿著S-R連線方向以速度v流動；

 

c) 液體垂直于S-R連線方向以速度v流動。

 

6. 在坐標系Σ中，有兩個物體都以速度u沿x軸運動，在Σ系看來，它們一直保持距離l不變。今有一觀察者以速度v沿x軸運動，他看到這兩個物體的距離是多少？

 

7. 一把直尺相對于Σ坐標系靜止，直尺與x軸交角θ。今有一觀察者以速度v沿x軸運動，他看到直尺與x軸交角θ’有何變化？

 

8. 兩個慣性系Σ和Σ’中各放置若干時鐘，同一慣性系中的諸時鐘同步。Σ’相對于Σ以速度v沿x軸方向運動。設兩系原點相遇時，t0=t 0’ =0。問處于Σ系中某點(x,y,z)處的時鐘與Σ’系中何處的時鐘相遇時，指示的時刻相同？讀數是多少？

 

9. 火箭由靜止狀態加速到v=√ 0.9999c ，設瞬時慣性系上加速度為|v|= 20m ·s-2，問靜止系的時鐘和火箭內的時鐘加速火箭各需要多少時間？

 

10. 一平面鏡以速度v自左向右運動。一束頻率為ω0，與水平成θ0夾角的平面光波自右向左入射到鏡面上，求反射光波的頻率以及反射角θ’。垂直入射情況如何？

 

11. 電偶極子p0以速度v作勻速運動，求它產生的電磁勢和場ψ，A，E，B。

 

12. 設在參照系Σ中E⊥B，Σ’系沿E×B的方向運動。問Σ’應以什么樣的速度相對于Σ系運動才能使其中只有電場或只有磁場？

 

13. 作勻速運動的點電荷所產生的電場在運動方向發生“壓縮”，這時在電荷的運動方向上電場E與庫侖場比較會發生減弱，如何理解這一減弱與變換公式E//=E//’的關系？

 

14. 有一沿z軸凡響螺旋進動的靜磁場B=B0(coskmzex+sinkmzey)，其中km=2π/λm，λm為磁場慣性系中觀察到的電磁場。證明當β≈1時該電磁場類似于一列頻率為γ·βckm的圓偏振電磁波。

 

15. 有一無限長均勻帶電直線，在其靜止參考系中線電荷密度為λ。該線電荷以速度v=βc沿自身長度勻速運動。在與直線相距為d的地方有一以同樣速度平行于直線運動的點電荷e。分別用下列兩種方法求出作用在電荷上的力：

 

a) 在直線靜止系中確定力，然后用四維力變換公式；

 

b) 直接計算電荷和線電流作用在運動電荷上的電磁力。

 

16. 一質量為M的靜止粒子衰變為兩個粒子m1和m2，求粒子m1的動量和能量。

 

17. 已知一粒子m衰變成質量為m1和m2，動量為p1和p2（兩者方向間的夾角為θ）的兩個粒子。求該粒子的質量。

 

18. （1）設E和p是粒子體系在實驗室參考系Σ中的總能量和總動量（p與x軸方向夾角為θ）。證明在另一參照系Σ’（相對于Σ以速度v沿x軸方向運動）中的粒子體系總能量和總動量滿足： px’=γ(px-βE/c)， E’=γ(E-cβpx)，tgθ’=sinθ/[γ(cosθ-βE/cp)]。（2）某光源發出的光束在兩個慣性系中與x軸的夾角分別為θ和θ’，證明cosθ’=(cosθ-β)/(1-βcosθ)，sinθ’=sinθ/γ(1-βcosθ)。（3）考慮在Σ系內立體角為dΩ=dcosθdφ的光束,證明當變換到另一慣性系Σ’時,立體角邊為dΩ’=dΩ/γ2(1-βcosθ)2。

 

19. 考慮一個質量為m1,能量為E1的粒子射向另一質量為m2的靜止粒子的體系。通常在高能物理中，選擇質心參考系有很多方便之處，在該參考系中，總動量為零。

 

a) 求質心系相對于實驗室系的速度βc；

 

b) 求質心系中每個粒子的動量、能量和總能量；

 

c) 已知電子靜止質量mec2=0.511MeV。北京正負電子對撞機（BEPC）的設計能量為2×2.2GeV（1GeV=103MeV）。估計一下若用單束電子入射于靜止靶，要用多大的能量才能達到與對撞機相同的相對運動能量？

 

20. 電荷為e，質量為m的粒子在均勻電場E內運動，初速度為零。試確定粒子的運動軌跡與時間的關系，并研究非相對論情況。

 

21. 利用洛侖茲變換，試確定粒子在互相垂直的均勻電場Eex和磁場Bey（E>cB）內的運動規律，設粒子初速度為零。

 

22. 已知t=0時點電荷q1位于原點，q2靜止于y軸(0,y0,0)上，q1以速度v沿x軸勻速運動，試分別求出q1，q2各自所受的力。如何解釋兩力不是等值反向？

 

23. 試比較下列兩種情況下兩個電荷的互相作用力：（1）兩個靜止電荷q位于y軸上相距為l；（2）兩個電荷都以相同速度v平行于x軸勻速運動。

 

24. 頻率為ω的光子（能量為hω，動量hk）碰到靜止的電子上，試證明：

 

a) 電子不可能吸收這個光子，否則能量和動量守恒定律不能滿足；

 

b) 電子可以散射這個光子，散射后光子頻率ω’比散射前光子頻率ω小。

 

25. 動量為hk，能量為hω的光子撞在靜止的電子上，散射到與入射方向夾角為θ的方向上。證明散射光子的頻率變化量為ω-ω’=2hωω’sin2(θ/2)/m 0c 2，亦即散射波長為λ’=λ+ 4πhsin2(θ/2)/m 0c 。

 

26. 一個總質量為M0的激發原子，對所選定的坐標系靜止。它在躍遷到能量比之低△W的基態時，發射一個光子（能量為hω，動量為hk），同時受到光子的反沖，依次光子的頻率不能正好是ν=△W/h，而是要略小一些。證明這個頻率，ν=△W/h[1-△W/( 2M 0c 2)]。

 

27. 一個處于基態的原子，吸收能量為hν的光子躍遷到激發態，基態能量比激發態能量低△W,求光子的頻率。